Étudier des suites réelles liées entre elles par une relation linéaire avec les matrices (1)

Énoncé

On considère les suites réelles  \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  et  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  définies par : 
pour tout  \(n\in\mathbb{N}, \begin{cases} u_{n+1}=2u_n+2w_n \\ w_{n+1}=2u_n-2w_n \\u_0=1 \text{ ; } w_0=-1 \end{cases}\) .

1. En posant, pour tout  \(n\in\mathbb{N},\)    \(X_n=\begin{pmatrix}u_n\\w_n\end{pmatrix}\) , justifier qu'on peut écrire ce problème sous la forme matricielle  \(X_{n+1}=AX_n\)  avec  \(A\)  et  \(X_0\)  des matrices à préciser.

2. Exprimer  \(X_n\)  en fonction de  \(A\)  et de  \(n\) .

3. Calculer  \(A^2\)  et en déduire une expression de  \(A^n\)  selon la parité de  \(n\) .

4. En déduire une expression de  \(X_n\) , puis de \(u_n\)  et \(w_n\)  en fonction de  \(n\) .

5. Les suites réelles  \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  et  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  convergent-elles ?